Андреев А.В.   Аминиан А.  

Численно-аналитическое моделирование трещины, достигающей границы раздела материалов

Reporter: Андреев А.В.

Рассматривается двумерная задача о трещине конечной длины, выходящей под произвольным углом на прямолинейную границу раздела двух упругих материалов. С использованием комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили соответствующая задача теории упругости сводится к одномерному сингулярному интегральному уравнению (СИУ) относительно производной от скачков смещений на поверхностях трещины-разреза, в общем случае криволинейного. Асимптотический анализ этого уравнения указывает на наличие нетривиальной (некорневой), а при определенных параметрах задачи – комплексной особенности напряжений вблизи интерфейсной вершины трещины. Для определения показателя особенности решения используется численно-аналитический подход, основанный на отыскании комплексных потенциалов в специальной форме, отражающей в полярных координатах только главный член асимптотики поля напряжений вблизи особой точки. Удовлетворение краевым условиям, реализующимся вблизи этой точки при различных величинах полярного угла, дает возможность построить трансцендентное характеристическое уравнение относительно показателя особенности поля напряжений. Для численного решения СИУ при явном аналитическом учете особенностей его решения используется прямой подход, базирующийся на квадратурных формулах Гаусса-Якоби и методе коллокации, и позволяющий свести СИУ к системе линейных алгебраических уравнений относительно значений неизвестной функции в дискретном наборе точек аппроксимации. Для построения сингулярного поля напряжений вблизи интерфейсной вершины трещины исходя из решения СИУ (производной от скачка смещений на линии трещины) также используется асимптотическое исследование соответствующей краевой задачи, позволяющее численно определить максимальный коэффициент интенсивности напряжений, определяющий условия и направление развития трещины, достигающей границы раздела материалов.